График линейного уравнения с двумя. §1. Линейные уравнения с двумя переменными

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

Где a, b, с - числа, причем

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

Рассмотрим пример:

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

Пример 2 - построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, ,

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , ,

Возьмем для проверки и найдем у:

, ,

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

2. Портал для семейного просмотра ().

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Уравнение вида:

Где a, b, с - числа, причем

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

Рассмотрим пример:

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

Построим на графике точки и проведем прямую:

Пример 2 - построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, ,

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , ,

Возьмем для проверки и найдем у:

, ,

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

2. Портал для семейного просмотра ().

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;

Видеоурок «Уравнение с двумя переменными и его график» знакомит учеников с понятием уравнения с двумя переменными, его решением, дает представление о графике уравнения с двумя переменными, его построении. Задача видеоурока - наглядно представить учебный материал по данной теме, облегчая выполнение задач учителя на уроке и давая возможность ему более эффективно использовать время урока.

Возможности видеоурока больше, чем любого другого наглядного пособия. Возможность использовать анимационные эффекты, заменить учителя в демонстрации построения графиков, чертежей, выполнение голосового сопровождения позволяет повысить эффективность урока, более рационально распределять время, удерживать внимание учеников на изучаемом материале.

Видеоурок начинается с представления темы. Ученикам представляются примеры уравнений с двумя переменными: 3х+4у=16, х 2 =9-у 2 , ху-8=0. Далее дается представление о решениях уравнения с двумя переменными. Демонстрируется подстановка значений переменных х=4 и у=1, которые превращают уравнение 3х+4у=16 в справедливое равенство. После объяснения сути решения уравнения, вводится понятие решения уравнения, которое в данном случае представляет собой пару чисел (4;1), в котором на первом месте представлено значение переменной х, а на втором - значение переменной у. Далее для запоминания учениками на экран выведено определение, что такое решение уравнения, которым называется пара значений для переменных, обращающая уравнение в верное равенство.

Уточняется особенность уравнения, имеющего две переменные - в большинстве случаев они имеют бесконечное множество решений. Вводится понятие равносильных уравнений, представляющих собой уравнения, имеющие одинаковое множество решений. Отмечается одинаковый способ определения степени целого уравнения, имеющего две переменные, и целого уравнения, имеющего одну переменную. Также уточняется, что уравнение, содержащее две переменные, у которого в левой части - многочлен, а в правой - 0, имеет степень, равной степени данного многочлена. Способом определения степени уравнения остается замена его равносильным уравнением таким образом, чтобы в левой части уравнения остался многочлен стандартного вида, а в левой - нуль. Приведен пример такой замены: отмечается, что уравнения (х 2 -у) 2 =х 4 -1 и -2х 2 у+у 2 +1=0 равносильны. После приведения уравнения к виду, когда в левой части остается многочлен стандартного вида, можно установить, что данное уравнение - третьей степени.

Далее рассматриваются особенности графика уравнения, имеющего две переменные. В представленном определении графиком некоторого уравнения, имеющего две переменные, является множество точек на координатной плоскости, подставив координаты которых, можно получить верное равенство. Ученикам напоминается вид графиков, уже изученных ранее и представляющих собой график уравнения с двумя переменными. Это прямая, представляющая собой график линейного уравнения ax+by=c, где a≠0 и b≠0, а также парабола - график уравнения у=х 2 , гипербола - график ух=15.

Ученикам демонстрируется построение графика функции x 2 +y 2 =r 2 , где r - произвольное положительное число. Окружность, являющаяся графиком данного уравнения, представлена на экране. Доказывается, что любая точка окружности будет удовлетворять данному уравнению. Для этого отмечаем произвольную точку В(х;у). Длина опущенного на ось абсцисс перпендикуляра равна модулю ординаты данной точки, а отрезок, проведенный из данной точки в начало координат - радиусу. Длина отрезка от начала координат до точки пересечения перпендикуляра с осью абсцисс равна модулю абсциссы. Из полученного прямоугольного треугольника АОВ имеем равенство: АО 2 +АВ 2 =ВО 2 , то есть |x| 2 +|y| 2 =r 2 . Это равенство также справедливо без знака модуля.

Чтобы убедиться, что уравнение верно в любом положении В(х;у) на окружности, предлагается рассмотреть точку В, которая лежит в точке пересечения окружности с осью абсцисс. Отмечается, что в этом случае одна координата точкиу равняется радиусу, а вторая - нуль. Уравнение x 2 +y 2 =r 2 превращается в 0 2 +r 2 =r 2 , поэтому равенство также справедливо. При этом для всех точек, которые не лежат в области определения, их координаты не удовлетворяют уравнению окружности x 2 +y 2 =r 2 . Примеры таких точек отмечены на координатной плоскости. Общий вывод из рассмотренного построения следует, что уравнение окружности в записи х 2 +у 2 =r 2 верно для случаев, когда точки А(х;у) принадлежат области определения φ, О(0;0) - центр окружности, а r - радиус.

Далее рассматривается, как уравнение окружности зависит от положения ее центра. Отмечается, что при переносе центра на |а| единиц вправо или влево параллельно х, а также на |b| единиц вверх или вниз, параллельно у, получается окружность того же радиуса, только с центром в точке с новыми координатами О(a;b). Уравнением такой окружности будет (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 .

Видеоурок «Уравнение с двумя переменными и его график» может быть использован как наглядное пособие на уроке алгебры по данной теме или заменить объяснение учителя по теме. Также данный материал может быть полезен при дистанционном обучении, поможет освоить тему ученикам самостоятельно.

Как известно, существуют уравнения, содержащие две переменные, например, выражения вида:

Помимо числовых значений подобные выражения содержат два одночлена, включающие неизвестные переменные. Мы уже рассматривали в прошлых видео свойства подобных выражений, а также способы нахождения корней.

Любое уравнение с двумя переменными имеет ответ в виде пары чисел, которые являются значениями х и у. Чаще всего ответов бывает бесконечное множество, соответствующее двум множествам чисел х и у. Кроме того, подобные уравнения могут иметь всего лишь один корень либо не иметь ответа вообще. Но, в любом случае, если задано некое значение х, то при наличии действительного равенства найдется соответствующее значение у. Иными словами, ответ на уравнение с двумя переменными всегда представляет собой пару чисел.

Уравнение вида:

можно тождественно преобразовать, получив равносильное выражение:

у = 2,5 - 0,5х

Переместив слагаемые таким образом, чтобы оставить у с левой стороны, а х и все остальные одночлены - с правой, а также поделив обе части выражения на 2, мы получаем равносильное уравнение. Оно, по сути, является некоторой зависимостью между аргументом х и значением у. В данном выражении эта зависимость представлена аналитической линейной формой. Но её можно представить и графически, отобразив математический график в декартовой системе координат. Для этого значения аргумента рассчитывают по оси абсцисс, а значения функции - по оси ординат.

Иначе говоря, в случае уравнений с двумя переменными мы можем тождественно преобразовать их до равносильных удобных формул, после чего использовать пары корней, соответствующих верному решению этого уравнения, как координаты точек в Декартовой системе. Несколько решений уравнений дадут несколько точек, соединяемых в единый график - некую кривую линию.

В тоже время, зависимости, которые прослеживаются между переменными в одном уравнении, не всегда являются функциями в строгом определении этого понятия. К примеру, рассмотрим два уравнения:

С первого взгляда, оба равенства довольно похожи. Построим график зависимости для каждого из них. Как мы можем убедиться на видео, графики этих выражений достаточно сильно отличаются друг от друга. Если для уравнения у + х = 9 графиком является прямая линия, не проходящая через центр координат, то у 2 + х 2 = 9 имеет график в виде правильной окружности, описанной с центром в точке (0, 0). Если мы попытаемся при помощи графика определить значение у при заданном х, то увидим, что каждому аргументу соответствуют два значения у. Любой перпендикуляр, проведенный к оси абсцисс, в пределах круга обязательно пересечет круг в двух точках с одинаковым аргументом, но с противоположными значениями у. Математически это можно пояснить следующим образом:

х 2 + у 2 = а

у 2 = а - х 2

у = корень квадратный (а - х 2)

Любое отрицательное значение не может дать квадратных корней, а любое положительное всегда образует пару чисел в качестве ответа, одинаковых по значению, но противоположных по знаку. Иными словами, каждому значению у при подобной зависимости будет соответствовать два аргумента, что противоречит основному принципу функции.

Выражение вида у + х = 9, тем не менее, является обычной линейной функцией, так как вполне отвечает её требованиям. Любые уравнения с двумя переменными могут быть, а могут и не быть функциями.

Рассмотрим выражение абстрактного вида:

Любое равенство, соответствующее данной формуле, называется линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком, в общем случае, является прямая линия, а корнями, как правило, - множество пар х и у. Исключения возможны при обнулении какого либо коэффициента - а, b, или свободного члена с. Если b = 0, но если а не равно 0, то ответами уравнения будет множество пар значений, у которых х будет всегда равен одному числу, а у - любому значению. Действительно, в уравнении:

х всегда равен 3, а у может быть равным любому числу, так как эта переменная все равно обнуляется.

Если а = 0, b = 0, но свободный член не равен 0, то уравнение не имеет верных решений, так как при любых раскладах нарушается принцип равенства. Графиком этого уравнения будет пустое множество. И, наконец, если все а, b, с = 0, то любое сочетание х и у является правильным решением уравнения, а график охватывает все числовое множество (плоскость Декартовой сети).

Для закрепления материала построим график уравнения:

Преобразуем выражение в линейное уравнение с двумя переменными:

1/3(х) + 0у = 1

0у = 1 - 1/3(х)

Графиком этого выражения будет прямая, перпендикулярная к оси абсцисс в точке (3, 0). При любых у значение аргумента всегда равно 3.